A A = A 2 x + A 2 y + A 2 z (1) A A. Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate alalım: A = Axˆx + A y ŷ + A z ẑ,

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "A A = A 2 x + A 2 y + A 2 z (1) A A. Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate alalım: A = Axˆx + A y ŷ + A z ẑ,"

Direnç Tezcan
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Vektör Analizi(Özet) Bir vektörün büyüklüğü(boyu) Birim vektör A A = A 2 + A 2 y + A 2 z (1) A â A (2) İki vektörün skaler(nokta) çarpımı Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate alalım: A = Aˆ + A y ŷ + A z ẑ, B = B ˆ + B y ŷ + B z ẑ Buna göre, birim vektörlerin skaler çarpımları şöyledir: A. B = A B cos θ( A, B) (3) = A B + A y B y + A z B z (4) ˆ.ˆ = ˆ ˆ cos α(ˆ, ˆ) = (1)(1) cos(0) = 1 (5) ŷ.ŷ = ẑ.ẑ = 1 (6) ˆ.ŷ = ˆ.ẑ = ŷ.ẑ = 0. (7) Notasyon: Birim vektörler farklı kaynaklarda farklı gösterimlerle ifade edilebilmektedirler. sıklıkla kullanılan bir gösterimde kartezyen birim vektörler (î, ĵ, ˆk) şeklindedir. Örneğin, Gradyent Üç-boyutta tanımlı çok-değişkenli bir f = f(, y, z) skaler fonksiyonunun tam değişimini (değişkenleri sonsuz küçük miktarlarda arttığında fonksiyonun tam değişimini) dikkate alalım: df(, y, z) = ( ) f d + ( ) f dy + y ( ) f dz (8) z İki vektörün skaler çarpımının tanımından bu eşitlik aşağıdaki gibi iki vektörün skaler çarpımı olarak yazılabilir: 1

2 df = [( ) f ˆ + ( ) f ŷ + y ( ) ] f ẑ.(dˆ + dyŷ + dzẑ) ( f).d z l (9) Burada f ifadesine f fonksiyonunun gradyenti denir ve işlemcisi aşağıdaki gibi tanımlanır: = ˆ + y ŷ + z ẑ (10) Geometrik olarak gradyent ifadesinin yorumu için skaler çarpımın tanımı dikkate alınabilir: df = ( f).d l = f d l cos θ(( f), d l) (11) Buna göre, f nin artışının maksimum olduğu açı değeri θ = 0dır. Diğer taraftan, f nin gradyentinin yönü f nin tanımladığı eş potansiyel yüzeye dik yöndedir. İspat: Eş potansiyel yüzey üzerinde f nin değişimi sıfır olacağından df = ( f).d l = 0 olur dolayısı gradyent vektörü, yüzey üzerindeki d l vektörüne diktir. Diverjans Üç-boyutta bir F (, y, z) = F (, y, z)ˆ+f y (, y, z)ŷ+f z (, y, z)ẑ vektör alanının diverjansı şöyle tanımlanır:. F = [ ˆ + y ŷ + ] z ẑ. [F (, y, z)ˆ + F y (, y, z)ŷ + F z (, y, z)ẑ] (12) = F + F y y + F z z (13) Rotasyonel Üç-boyutta tanımlı bir F (, y, z) = F (, y, z)ˆ + F y (, y, z)ŷ + F z (, y, z)ẑ vektör alanının rotasyoneli şöyle tanımlanır:. F = = = [ ˆ + y ŷ + ] z ẑ [F (, y, z)ˆ + F y (, y, z)ŷ + F z (, y, z)ẑ] (14) ( Fz y F ) ( y F ˆ + z z F ) ( z Fy ŷ + F ) ẑ (15) y ˆ ŷ ẑ y z (16) F F y F z Uyarı: son satırda, kısmi türev işleminin F nin bileşenlerine uygulanacağı sıra ile determinant alınması gerektiğine dikkat etmek gerekmektedir. Laplasyen Laplasyen işlemcisi işlemcisinin kendisi ile skaler çarpımı ile tanımlanır: 2. = y z 2 (17)

3 Bir skaler alanın Laplasyeni şöyle ifade edilir: Bir vektör alanın Laplasyeni şöyle ifade edilir: 2 f = 2 f f y f z 2 (18) Sık kullanılan bazı işlemler 2 F 2 F = 2 ˆ + 2 F y y 2 ŷ + 2 F z z 2 ẑ (19) A ( B C) = B( A. C) C( A. B) (20) ( A) = (. A) (. ) A (21) = (. A) 2 A (22) Diferensiyel hesabın temel teoremi veya a df() d = f(b) f(a) (23) d Gradyentin temel teoremi a ( F ).d l = F (b) F (a) a F ()d = f(b) f(a); F () = df() d (24) İntegralin sonucu, a b arasındaki seçilen yoldan bağımsızdır! Kapalı bir yol üzerinden integralin sonucu, a = b olduğundan sıfırdır! Diverjans Teoremi Bir F vektörünün diverjansının bir V hacmi üzerinde hacim integrali, F nin bu hacmi örten S = V kapalı yüzeyi üzerinden integraline eşittir:. F dτ = F.d A (25) V S=V burada d A = ˆndA şeklinde yüzey normali doğrultusundaki(yüzeyden dışa doğru) yüzey alanı elemanıdır. Rotasyonel(Stokes) Teoremi Bir F vektörünün rotasyonelinin bir S alanı üzerinde yüzey integrali, F nin bu alanı sınırlayan P = S kapalı yolu üzerinden integraline eşittir: S ( F ).d A = P =S F.d l (26)

4 Eğrisel Koordinatlar Bir P noktasının r konum vektörü için küresel kutupsal koordinat değişkenleri (r, θ, ϕ) 1 şeklinde gösterilebilir. z r = ˆ+yŷ +zẑ z = rsinθcosφ y = rsinθsinφ z = rcosθ θ r y y φ rsinθ Şekil 1: r için küresel koordinat değişkenlerinin gösterimi. Küresel koordinat değişkenleri şöyle tanımlanır: r, r vektörünün gösterdiği noktanın orjinden yarıçap doğrultusunda uzaklığını, θ kutup açısı r konum vektörünün z-ekseni ile yaptığı açıyı, ϕ boylam açısı ise r nin y düzlemine izdüşümünün ekseni ile yaptığı açıyı göstermektedir. r nin bileşenlerinin küresel koordinat değişkenleri cinsinden ifadeleri şöyledir: = r cos θ sin ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ (27) Küresel koordinatlardaki birim vektörler de benzer olarak kartezyen koordinatlardaki birim vektörler cinsinden ifade edilebilir: ˆr = sin θ cos ϕˆ + sin θ sin ϕŷ + cos θẑ (28) ˆθ = cos θ cos ϕˆ + cos θ sin ϕŷ sin θẑ (29) ˆϕ = sin ϕˆ + cos ϕẑ (30) Dikkat: ˆ, ŷ, ẑ kartezyen birim vektörler noktadan noktaya değişmezler dolayısı ile kartezyen koordinat çerçevesi bu anlamda sabit bir koordinat çerçevesidir. Halbuki, ˆr, ˆθ, ˆϕ birim vektörleri r nin tanımladığı P noktasına bağlı birim vektörlerdir; P nin yeri değiştikçe bu vektörlerin yönleri değişir. Dolayısıyla küresel koordinat çerçevesi bir hareketli koordinat çerçevesidir. Sonsuzküçük yerdeğiştirme elemanı, küresel koordinatlarda şöyledir: Buna göre, yüzey ve hacim elemanları da şöyledir: d l = dˆ + dyŷ + dzẑ (31) = drˆr + rdθˆθ + r sin θdϕ ˆϕ (32)

5 d a = r 2 sin θdθdϕˆr (33) dτ = r 2 sin θdrdθdϕ (34) Küresel koordinatlarda gradyent, diverjans, rotasyonel ve Laplasyen ifadeleri aşağıdaki gibidir: f = f r ˆr + 1 f r θ ˆθ + 1 f r sin θ ϕ ˆϕ (35). A = 1 r 2 r (r2 A r ) + 1 r sin θ θ (sin θa θ) + 1 r sin θ ϕ (A ϕ) (36) A = [ 1 r sin θ θ (sin θa ϕ) ] ϕ (A θ) ˆr + 1 r + 1 [ r r (ra θ) ] θ (A r) ˆϕ [ 1 sin θ ϕ A r ] r (ra ϕ) ˆθ (37) 2 f = 1 r 2 ( r 2 f ) + r r 1 r 2 sin θ ( sin θ f ) + θ θ 1 2 f r 2 sin θ ϕ 2 (38)

Benzer belgeler

FİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) KOORDİNAT SİSTEMLERİ HELMHOLTZ TEOREMİ

FİZ 216 ELEKTRİK ve MANYETİZMA GRADİYENT DİVERJANS ROTASYONEL (KÖRL) KOORDİNAT SİSTEMLERİ HELMHOLTZ TEOREMİ GRADİYENT: f(,y,z) her noktada sürekli ve türevlenebilir bir skaler alan olsun. Herhangi bir